Конечные разности

Конечная разность — математический термин, широко применяющийся в методах вычисления при интерполировании.

Содержание

Определение

Рассмотрим интерполяционную задачу для функции f(x):

f(x_0) = y_0, \ldots, f(x_n)=y_n,

где x_k = x_0 + hk, \, h=\mathrm{const}.

Конечной разностью 1-го порядка называют разность между двумя соседними значениями f в узлах интерполяции, то есть

\Delta y_k=y_{k+1}-y_k = f(x_{k+1}) - f(x_k), \, k=0..n-1.

Конечной разностью 2-го порядка называют разность между двумя соседними конечными разностями 1-го порядка, то есть

\Delta^2y_k= \Delta y_{k+1} - \Delta y_k = f(x_{k+2}) - 2 f(x_{k+1}) + f(x_{k}), \, k=0..n-2.

Конечной разностью порядка m (для m \leq n) называют разность между двумя соседними конечными разностями порядка m - 1, то есть

\Delta^my_k= \Delta^{m-1}y_{k+1} - \Delta^{m-1}y_k, \, k=0..n-m.

Конечные разности применяются в интерполяционном методе Ньютона.

С конечными разностями связаны понятия разделённых разностей и модуля непрерывности.

Другие обозначения

Часто также используется другое обозначение: \Delta^m_h (f, x) — конечная разность порядка m от функции f c шагом h, взятая в точке x. Например, \Delta^1_h (f, x) = f(x+h) - f(x).

Связанные понятия

Видно, что конечная разность при фиксированном шаге есть линейный оператор, отображающий пространство непрерывных функций в себя. Обобщением понятия конечной разности является понятие разностного оператора.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home