Радикальный признак Коши

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда

\sum_{n=1}^\infty a_n

с неотрицательными членами существует такое число d, 0 < d < 1, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство \sqrt[n]{a_n}<dто данный ряд сходится.

Предельная форма

Условие радикального признака равносильно следующему:

\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1

То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:

Если для ряда

\sum_{n=1}^\infty a_n \ (a_n \ge \; 0) \ \exists\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=l \;, то
если l<1 ряд сходится,
если l>1 ряд расходится.

Примеры

1. Ряд

\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}
сходится, так как выполняется условие предельной формы радикального признака
\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{2}

2. Рассмотрим ряд

\sum_{n=1}^\infty {(\frac{n-1}{n+1})}^{n(n-1)}
\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} {(\frac{n-1}{n+1})}^{n-1} = \lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{2}{n+1})}^{n-1} = e^{-2} < 1 \Rightarrowряд сходится

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home