Построение с помощью циркуля и линейки

Построения с помощью циркуля и линейки — небольшая подтеория евклидовой геометрии, известная с античных времён.

В задачах на построение возможны следующие операции:

  • Выбрать произвольную точку на плоскости, точку на одной из построенных линий или точку пересечения двух построенных линий.
  • С помощью циркуля провести окружность с центром в построенной точке с радиусом, равным расстоянию между двух построенных точек.
  • С помощью линейки провести прямую, проходящую через две построенные точки.

Линейка не имеет делений и имеет только одну сторону бесконечной длины. Циркуль может иметь сколь угодно большой раствор.

Содержание

Простой пример

Задача. С помощью циркуля и линейки разбить данный отрезок AB на две равные части. Одно из решений показано на рисунке:

  • Циркулем проводим окружность с центром в точке A радиусом AB.
  • Проводим окружность с центром в точке B радиусом AB.
  • Находим точки пересечения P и Q двух построенных окружностей.
  • Линейкой проводим отрезок, соединяющий точки P и Q.
  • Находим точку пересечения AB и PQ. Это — искомая середина отрезка AB.

Правильные многоугольники

Античным геометрам были известны способы построения правильных n-угольников для n=2^k\,\!, 3\cdot 2^k, 5\cdot 2^k и 3\cdot5\cdot2^k.

К. Ф. Гаусс показал в 1796 возможность построения правильных n-угольников при n=2^k\cdot p_1\cdots p_m, где p_i\,\! — различные простые числа Ферма. В 1836 П. Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует. См. также Теорема Гаусса — Ванцеля

Неразрешимые задачи

Следующие три задачи на построение были поставлены ещё в античности:

  • Трисекция угла — разбить произвольный угол на три равные части.
  • Удвоение куба — построить отрезок, являющийся ребром куба в два раза большего объёма, чем куб с данным ребром.
  • Квадратура круга — построить квадрат, равный по площади данному кругу.

Только в XIX веке было доказано, что все три задачи не имеют решения. Вопрос возможности построения полностью решён алгебраическими методами, основанными на теории Галуа.

Построения одним циркулем и одной линейкой

По теореме Мора-Маскерони (Mohr–Mascheroni theorem) с помощью одного циркуля можно построить любую фигуру, которую можно построить циркулем и линейкой. При этом прямая считается построенной, если на ней заданы две точки.

Легко заметить, что с помощью одной линейки можно проводить только проективно-инвариантные построения (см., например, в теории поверхностей [1] ).

В частности, невозможно даже разбить отрезок на две равные части. Но при наличии на плоскости заранее проведённой окружности с отмеченным центром с помощью линейки можно провести те же построения, что и циркулем и линейкой (теорема Понселе-Штейнера (Poncelet-Steiner theorem), 1833.

См.также

  • KSEG — программа, позволяющая делать построения с помощью циркуля и линейки.

Литература

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home