Преобразование Лапласа

Преобразова́ние Лапла́са — интегральное преобразование, связывающее функцию \ F(s) комплексного переменного (изображение) с функцией \ f(x) действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем, и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соотвествуют более простые соотношения над их изображениями.

Содержание

Определение

Прямое преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа функции действительного переменного \ f(x), называется функция \ F(s) комплексного переменного s = \sigma + i \omega \,, такая что:

F(s) = \mathcal{L} \left\{f(x)\right\} =\int_{0^-}^\infty e^{-sx} f(x)\,dx.

Левая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного \ F(s), называется функция \ f(x) действительного переменного, такая что:

f(x) = \mathcal{L}^{-1} \{F(s)\} = \frac{1}{2 \pi i} \int_{ \sigma_1 - i \cdot \infty}^{ \sigma_1 + i \cdot \infty} e^{sx} F(s)\,ds,

где \sigma_1 \ — некоторое вещественное число (см. условия существования).

Двустороннее преобразование Лапласа

Основная статья: Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции \ f(x) участвуют значения \ x < 0

Двусторонее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

F(s) = \mathcal{L}\left\{f(x)\right\} =\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-sx} f(x)\,dx.

Дискретное преобразование Лапласа

Применяется в сфере систем компьютерного управления. Таким образом, дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.
Различают \ D-преобразование и \ Z-преобразование.

  • \ D-преобразование

Пусть x_d \left( {nT} \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {x\left( {nT} \right) \cdot \delta \left( {t - nT} \right)} — решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени \ nT, где \ n — целое число, а \ T — период дискретизации.
Тогда применяя преобразование Лапласа получим:
\mathcal{L}\left\{ {x_d \left( t \right)} \right\} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {x\left( {nT} \right) \cdot e^{ - snT} } = \mathcal{D}\left\{ {x(nT)} \right\}

  • \ Z-преобразование
Основная статья: Z-преобразование

Если применить следующую замену переменных:
\ z = e^{ sT },
получим Z-преобразование:
\mathcal{Z}\left\{ {x \left( {nT} \right)} \right\} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {x\left( {nT} \right) \cdot z^{ - n} }

Свойства и теоремы

  • Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при \sigma = \sigma_0 \!, то есть существует предел

\lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} \mid f(x) \mid e^{-\sigma_0 x} dx = \int_{0}^{\infty} \mid f(x) \mid e^{-\sigma_0 x} dx,

то он сходится абсолютно и равномерно для \sigma \ge \sigma_0 \! и F(s) \! — аналитичная функция при \sigma \ge \sigma_0 \! (\sigma = Re(s) \! — действительная часть комплексной переменной s \!). Точная нижняя грань \sigma_a \! множества чисел \sigma \!, при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции f(x) \!.


  • Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа \mathcal{L} \{f(x) \} \! существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:

  1. Случай \sigma \ge 0 \!: преобразование Лапласа существует, если существует интеграл \int_{0}^{\infty}|f(x)| dx
  2. Случай \sigma > \sigma_a \!: преобразование Лапласа существует, если интеграл \int_{0}^{x_1}|f(x)| dx существует для каждого конечного x_1 > 0 \! и |f(t)| \le Ke^{\sigma_ax} \! для x > x_2 \ge 0 \!
  3. Случай \sigma > 0 \! или \sigma > \sigma_a \! (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции f(x)' \! (производная к f(x) \!) для \sigma > \sigma_a \!.

Примечание: это достаточные условия существования.


  • Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

1. Если изображение F(s) \! — аналитичная функция для \sigma \ge \sigma_a \! и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём \mathcal{L}^{-1} \{F(s) \} = 0 \! для t \le 0 \!

2. Пусть F(s) = \phi[F_1(s), F_2(s), \dots, F_n(s)] \!, так что \phi(z_1, z_2, \dots, z_n) \! аналитична относительно каждого z_k \! и равна нулю для z_1 = z_2 = \dots = z_n = 0 \!, и F_k(s) = \mathcal{L} \{f_k(x) \{ (\sigma > \sigma_{ak} : k = 1, 2, \dots, n);, тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание: это достаточные условия существования.


  • Теорема о свёртке
Основная статья: Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов.

\mathcal{L} \{ f(x) * g(x) \} = \mathcal{L} \{ f(x) \} \cdot \mathcal{L} \{ g(x) \}


  • Умножение изображений

f(x)g(0) + \int_{0}^{x} f(x-\tau)g'(\tau) d\tau = sF(s)G(s)

Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем.


  • Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа.

\mathcal{L} \{f'(x)\} = s \cdot F(s) - f(0^+)

В более общем случае (производная n \!-го порядка):

\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} (x) \right\} = s^n \cdot F(s) - s^{n - 1} f(0^-) - \cdots - f^{(n - 1)}(0^-)

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала деленное на свой аргумент.

\mathcal{L} \left\{ \int_{0}^{x} f(t) dt \right\} = \frac{F(s)}{s}


  • Дифференцирование и интегрирование изображения

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком.

\mathcal{L}^{-1} \{F'(s)\} = -x \cdot f(x)

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, деленный на свой аргумент.

\mathcal{L}^{-1} \left\{ \int_{s}^{+\infty} F(s) ds \right\} = \frac{f(x)}{x}


  • Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения:

\mathcal{L}\left\{ e^{ax} f(x) \right\} = F(s - a) \!
\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\} = e^{ax} f(x) \!

Запаздывание оригинала:

\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s) \!
\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(x - a) u(x - a) \!

Примечание: u(x) \! — Функция Хевисайда.

Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы):

f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)} \!, все полюсы в левой полуплоскости

Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, к примеру, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы.

\lim_{s\to \infty}{sF(s)} = f(0 + 0)= \!
  • Другие свойства

Линейность

\mathcal{L}\left\{a f(x) + b g(x) \right\} = a F(s) + b G(s)

Умножение на число

\mathcal{L} \left\{ f(ax) \right\} = {1 \over a} F \left ( {s \over a} \right )

Прямое и обратное преобразование Лапласа некоторых функций

Ниже представлена таблица преобразования Лапласа для некоторых функций.

Функция Временная область
x(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ X(s) \right\}
Частотная область
X(s) = \mathcal{L}\left\{ x(t) \right\}
Область сходимости
для причинных систем
1 идеальное запаздывание \delta(t-\tau) \ e^{-\tau s} \
1a единичный импульс \delta(t) \ 1 \ \mathrm{all} \ s \,
2 запаздывание n-го порядка с частотным сдвигом \frac{(t-\tau)^n}{n!} e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau) \frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}} s > 0 \,
2a степенная n-го порядка { t^n \over n! } \cdot u(t) { 1 \over s^{n+1} } s > 0 \,
2a.1 степенная q-го порядка { t^q \over \Gamma(q+1) } \cdot u(t) { 1 \over s^{q+1} } s > 0 \,
2a.2 единичная функция u(t) \ { 1 \over s } s > 0 \,
2b единичная функция с запаздыванием u(t-\tau) \ { e^{-\tau s} \over s } s > 0 \,
2c «ступенька скорости» t \cdot u(t)\ \frac{1}{s^2} s > 0 \,
2d n-го порядка с частотным сдвигом \frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t) \frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}} s > - \alpha \,
2d.1 экспоненциальное затухание e^{-\alpha t} \cdot u(t) \ { 1 \over s+\alpha } s > - \alpha \
3 экспоненциальное приближение ( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \ \frac{\alpha}{s(s+\alpha)} s > 0\
4 синус \sin(\omega t) \cdot u(t) \ { \omega \over s^2 + \omega^2 } s > 0 \
5 косинус \cos(\omega t) \cdot u(t) \ { s \over s^2 + \omega^2 } s > 0 \
6 гиперболический синус \sinh(\alpha t) \cdot u(t) \ { \alpha \over s^2 - \alpha^2 } s > | \alpha | \
7 гиперболический косинус \cosh(\alpha t) \cdot u(t) \ { s \over s^2 - \alpha^2 } s > | \alpha | \
8 экспоненциально затухающий
синус
e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \ { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 } s > -\alpha \
9 экспоненциально затухающий
косинус
e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \ { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 } s > -\alpha \
10 корень n-го порядка \sqrt[n]{t} \cdot u(t) s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right) s > 0 \,
11 натуральный логарифм \ln \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t) - { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ] s > 0 \,
12 функция Бесселя
первого рода
порядка n
J_n( \omega t) \cdot u(t) \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}} s > 0 \,
(n > -1) \,
13 модифицированная функция Бесселя
первого рода
порядка n
I_n(\omega t) \cdot u(t) \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}} s > | \omega | \,
14 функция Бесселя
второго рода
нулевого порядка
Y_0(\alpha t) \cdot u(t)    
15 модифицированная функция Бесселя
второго рода,
нулевого порядка
K_0(\alpha t) \cdot u(t)    
16 функция ошибок \mathrm{erf}(t) \cdot u(t) {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s} s > 0 \,
Примечания к таблице:

Применения преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа находит широкое применение во многих областях математики (операционное исчисление), физики и техники.

  • Расчёт электрических схем. Производится путём решения дифференциальных уравнений, описывающих схему операторным методом.

Связь с другими преобразованиями

Фундаментальные связи

Практически все интегральные преобразования имеют схожую природу и могут получаться одно из другого через выражения соответствия. Многие из них являются частными случаями других преобразований. Далее даны формулы, связывающие преобразования Лапласа с некоторыми другими функциональными преобразованиями.

Преобразование Лапласа-Карсона

Преобразование Лапласа-Карсона получается из преобразования Лапласа путём домножения его на комплексную переменную.

\mathcal{L_k}\left\{f(x)\right\} = sF(s)


Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа = \mathcal{L_B} связано с односторонним с помощью следующей формулы:

\mathcal{L_B}\left\{f(x); s\right\} = \mathcal{L}\left\{f(x); s\right\} + \mathcal{L}\left\{f(-x); -s\right\}



Преобразование Фурье

Непрерывное преобразование Фурье эквивалентно двустороннему преобразованию Лапласа с комплексным аргументом s = i\omega \!:

F(\omega) = \mathcal{F}\left\{f(x)\right\}
= \mathcal{L}\left\{f(x)\right\}|_{s = i \omega} = F(s)|_{s = i \omega}
= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\imath \omega x} f(x)\,\mathrm{d}x.

Примечание: в этих выражениях опущен масштабирующий множитель \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}, который часто включается в определения преобразования Фурье.

Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа часто используется для того, чтобы определить частотный спектр сигнала или динамической системы.

Преобразование Меллина

Преобразование Меллина и обратное преобразование Меллина связаны с двусторонним преобразованием Лапласа простой заменой переменных. Если в преобразовании Меллина

G(s) = \mathcal{M}\left\{g(\theta)\right\} = \int_0^\infty \theta^s g(\theta) \frac{d\theta}{\theta}

положим \theta = \exp(-x) \!, то получим двустороннее преобразование Лапласа.

Z-преобразование

Z-преобразование — это преобразование Лапласа решётчатой функции, производимое с помощью замены переменных:

z \equiv e^{s T} \

где T = 1/f_s \ ! — период дискретизации, а f_s \! — частота дискретизации сигнала. Связь выражается с помощью следующего соотношения:

X_q(s) = X(z) \Big|_{z=e^{sT}}.

Преобразование Бореля

Интегральная форма преобразования Бореля идентична преобразованию Лапласа, существует также обобщённое преобразование Бореля, с помощью которого использование преобразования Лапласа распространяется на более широкий класс функций.

Библиография

  • Ван-дер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа.-М., ИЛ, 1952
  • Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1961
  • Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1974.-542 с.
  • Карслоу Х., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике.-М., ИЛ, 1948
  • Кожевников Н. И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1964
  • Краснов М. Л., Макаренко Г. И. Операционное исчисление. Устойчивость движения.-М., Наука, 1964.-103 с.
  • Микусинский Я. Операторное исчисление.-М., ИЛ, 1956
  • Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1980.-336 с.


См. также

Внешние ссылки


Интегральные преобразования
Преобразование Абеля | Преобразования Бесселя | Преобразование Бушмана | Преобразование Ганкеля | Преобразование Гильберта | Преобразование Конторовича—Лебедева | Преобразование Лапласа | Преобразование Мейера | Преобразование Мелера-Фока | Преобразование Меллина | Преобразование Нерейна | Преобразование Радона | Преобразование Стильтьеса | Преобразование Фурье | Преобразование Хартли
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home