Алгебраическое число

Алгебраи́ческое число́ над полем k\,\! — элемент алгебраического замыкания поля k\,\!, то есть корень многочлена с коэффициентами из k\,\!.

Если поле не указывается, то предполагается поле рациональных чисел, то есть k=\mathbb{Q}, в этом случае поле алгебраических чисел обычно обозначается \mathbb{A}. Поле \mathbb{A} является подполем комплексных чисел.

Эта статья посвящена именно этим «рациональным алгебраическим числам».

Содержание

Связанные определения

  • Вещественное число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.
  • Целым алгебраическим числом называются корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом единица.
  • Если \alpha\,\! — алгебраическое число, то среди всех многочленов с рациональными коэффициентами, имеющих \alpha\,\! своим корнем, существует единственный многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным 1. Такой многочлен автоматически является неприводимым, он называется каноническим, или минимальным, многочленом алгебраического числа \alpha\,\!.
    • Степень канонического многочлена \alpha\,\! называется степенью алгебраического числа \alpha\,\!.
    • Другие корни канонического многочлена \alpha\,\! называются сопряжёнными к \alpha\,\!.
    • Высотой алгебраического числа \alpha\,\! называется наибольшая из абсолютных величин коэффициентов в неприводимом и примитивном многочлене с целыми коэффициентами, имеющем \alpha\,\! своим корнем.

Примеры

  • Рациональные числа, и только они, являются алгебраическими числами 1-й степени.
  • Мнимая единица i\,\! так же как \sqrt2 являются алгебраическими числами 2-й степени. Сопряжёнными к этим числам являются соответственно -i\,\! и -\sqrt2.
  • При любом натуральном n\,\!, \sqrt[n]2 является алгебраическим числом n\,\!-й степени.

Свойства

  • Множество алгебраических чисел счётно.
  • Множество алгебраических чисел плотно в комплексной плоскости.
  • Сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел (кроме деления на нуль) суть алгебраические числа, то есть множество всех алгебраических чисел образует поле.
  • Корень многочлена с алгебраическими коэффициентами есть алгебраическое число, то есть поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто.
  • Для всякого алгебраического числа \alpha\,\! существует такое натуральное N\,\!, что N\alpha\,\! — целое алгебраическое число.
  • Алгебраическое число \alpha\,\! степени n\,\! имеет n\,\! различных сопряжённых чисел (включая себя).
  • \alpha\,\! и \beta\,\! сопряжены тогда и только тогда, когда существует автоморфизм поля \mathbb{A}, переводящий \alpha\,\! в \beta\,\!.

История

Впервые алгебраические поля стал рассматривать Гаусс. При обоснования теории биквадратичных вычетов он развил арифметику целых гауссовых чисел, то есть чисел вида a + bi\,\!, где a\,\! и b\,\! — целые числа. Далее, изучая теорию кубических вычетов, Якоби и Эйзенштейн (F. Eisenstein) создали арифметику чисел вида a + b\rho\,\!, где \rho = (-1+i\sqrt3)/2 — кубический корень из единицы, а a\,\! и b\,\! — целые числа. Попытки доказать великую теорему Ферма привели Э. Куммера (Е. Kummer) к изучению полей деления круга, введению понятия идеала и созданию элементов теории алгебраических чисел. В работах Дирихле, Кронекера, Гильберта и других теория алгебраических чисел получила свое дальнейшее развитие. Большой вклад в неё внесли русские математики Е. И. Золотарев (теория идеалов), Г. Ф. Вороной (кубические иррациональности, единицы кубических полей), А. А. Марков (кубическое поле), Ю. В. Сохоцкий (теория идеалов) и другие.

Ссылки


Числа

натуральные | целые | рациональные | алгебраические | вещественные | комплексные | кватернионы | числа Кэли

иррациональные | трансцендентные


p-адические

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home