Признак сходимости Д’Аламбера

Признак Д’Аламбера — признак сходимости числовых рядов:

Если для числового ряда

\sum_{n=0}^\infty a_n

существует такое число q, 0 < q < 1, что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

\left| \frac {a_{n+1}} {a_{n}} \right| \le q,

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

\left| \frac {a_{n+1}} {a_{n}} \right| \ge 1,

то ряд расходится.

В частности, если существует предел

\rho = \lim_{n \to \infty} \left| \frac {a_{n+1}} {a_n} \right|,

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если ρ < 1, а если ρ > 1 — расходится (признак сходимости Д’Аламбера в предельной форме).

Примеры

1. Ряд

\sum_{n=0}^\infty \frac {z^n} {n!}

абсолютно сходится для всех комплексных z, так как

\lim \left|\frac {{z^{n+1}}/{(n+1)!}} {{z^n}/{n!}}\right| = \lim \frac {|z|} {n+1} = 0,

2. Ряд

\sum_{n=0}^\infty n! \; z^n

расходится при всех z\not=0, так как

\lim \left| \frac {(n+1)! \; z^{n+1}} {n! \; z^n} \right| = \lim |(n+1)z| = \infty.

3. Если ρ = 1, то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда

\sum_{n=0}^\infty \frac 1 n     и     \sum_{n=0}^\infty \frac 1 {n^2}

удовлетворяют этому условию, причём первый ряд расходится, а второй сходится.

История

Признак установлен Жаном Д’Аламбером в 1768 г.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home