Логарифмическое распределение

Логарифмическое распределение
Функция вероятности
Функция распределения
Параметры 0 < p < 1\!
Носитель k \in \{1,2,3,\dots\}\!
Функция вероятности \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{\;p^k}{k}\!
Функция распределения 1 + \frac{\Beta_p(k+1,0)}{\ln(1-p)}\!
Математическое ожидание \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p}{1-p}\!
Медиана
Мода 1
Дисперсия -p \;\frac{p + \ln(1-p)}{(1-p)^2\,\ln^2(1-p)} \!
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов \frac{\ln(1 - p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}\!
Характеристическая функция \frac{\ln(1 - p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}\!

Логарифмическое распределение в теории вероятностей — класс дискретных распределений. Логарифимическое распределение используется в различных приложениях, включая математическую генетику и физику.

Содержание

Определение

Пусть распределение случайной величины Y задаётся функцией вероятности:

p_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y=k) = -\frac{1}{\ln(1-p)} \frac{p^k}{k},\; k=1,2,3,\ldots,

где 0 < p < 1. Тогда говорят, что Y имеет логарифмическое распределение с параметром p. Пишут: Y˜Log(p).

Функция распределения случайной величины Y кусочно-постоянна со скачками в натуральных точках:

F_Y(y) = \left\{ \begin{matrix} 0, & y < 1 & \\ 1 + \frac{\mathrm{B}_p(k+1,0)}{\ln (1-p)},\; & y \in [k,k+1),\; & k=1,2,3,\ldots \end{matrix}\right.,

где Bp — неполная бета-функция.

Замечание

То, что функция pY(k) действительно является функцией вероятности некоторого распределения, следует из разложения логарифма в ряд Тейлора:

\ln(1-p) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \left[ - \frac{p^k}{k} \right],\; 0<p<1,

откуда

\sum\limits_{k=1}^{\infty}p_Y(k) = 1.

Моменты

Производящая функция моментов случайной величины Y˜Log(p) задаётся формулой

M_Y(t) = \frac{\ln\left[1 - p e^t\right]}{\ln[1-p]},

откуда

\mathbb{E}[Y] = - \frac{1}{\ln(1-p)} \frac{p}{1-p},
\mathrm{D}[Y] = -p \;\frac{p + \ln(1-p)}{(1-p)^2\,\ln^2(1-p)}.

Связь с другими распределениями

Пуассоновская сумма независимых логарифмических случайных величин имеет отрицательное биномиальное распределение. Пусть \{X_i\}_{i=1}^n последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, таких что X_i \sim \mathrm{Log}(p), \; i=1,2,\ldots. Пусть N˜P(λ) — Пуассоновская случайная величина. Тогда

Y = \sum\limits_{i=1}^N X_i \sim \mathrm{NB}.
Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home