Теория категорий

Теория категорий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Некоторые математики считают теорию категорий слишком абстрактной и непригодной для практического применения. В то же время, теория категорий занимает центральное место в современной математике, она также нашла применения в информатике и в теоретической физике.

Содержание

Определение

Категория \mathcal{C} — это:

  • класс объектов Ob_{\mathcal{C}};
  • для каждой пары объектов X,Y задано множество морфизмов Mor_{\mathcal{C}}(X,Y);
  • для пары морфизмов f\in Mor(X,Y) и g\in Mor(Y,Z) определена композиция g\circ f\in Mor(X,Z);
  • для каждого объекта X задан тождественный морфизм id_X\in Mor(X,X);

причём выполняются две аксиомы:

  • операция композиции ассоциативна: h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f и
  • тождественный морфизм действует тривиально: f\circ id_X = id_Y\circ f = f
Замечание: класс объектов обычно не является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория, в которой объекты составляют множество, называется малой.

Примеры категорий

Аналогично определяются категории для других алгебраических систем.

Коммутативные диаграммы

Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы. Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы или функторы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий можно записать с помощью диаграмм:

Дуальность

Для категории \mathcal{C} можно определить дуальную категорию \mathcal{C}^{op}, в которой:

  • объекты совпадают с объектами исходной категории;
  • морфизмы получаются «обращением стрелок»: Mor_{\mathcal{C}^{op}}(B,A) \simeq Mor_{\mathcal{C}}(A,B)

Вообще, для любого утверждения теории категорий можно сформулировать дуальное утверждение с помощью обращения стрелок. Часто дуальное явление обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры дальше).

Основные определения и свойства

Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм

Морфизм f\in Mor(A,B) называется изоморфизмом, если существует такой морфизм g \in Mor(B,A), что g\circ f = id_A и f\circ g = id_B. Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.

Морфизмы, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмами. Множество эндоморфизмов End(A) = Mor(A,A) является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом idA.

Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизмами, называются автоморфизмами. Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов Aut(A).

Мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм

Мономорфизм - это морфизм f\in Mor(A,B) такой, что для любых g_1,g_2\in Mor(X,A) из f\circ g_1 = f\circ g_2 следует, что g1 = g2. Композиция мономорфизмов есть мономорфизм.

Эпиморфизм - это такой морфизм, что для любых g_1,g_2\in Mor(B,X) из g_1\circ f = g_2\circ f следует g1 = g2.

Биморфизм - это морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом. Любой изоморфизм есть биморфизм, но не любой биморфизм есть изоморфизм.

Мономорфизм эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий инъективного, сюръективного и биективного отображения. Любой изоморфизм является мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.

Универсальный и терминальный объекты

Универсальный объект категории — это такой объект, из которого существует единственный морфизм в любой другой объект.

Если универсальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.

Дуальным образом определяется терминальный или коуниверсальный объект — это такой объект, в который существует единственный морфизм из любого другого объекта.

Пример: В категории Set универсальным объектом является пустое множество \empty, терминальным — множество из одного элемента \{\cdot\}.
Пример: В категории Group универсальный и терминальный объект совпадают — это группа из одного элемента.

Прямое произведение, прямая сумма

Прямое произведение объектов A и B это объект A×B с эпиморфизмами p_1: A\times B\to A и p_2: A\times B \to B такой, что для любого объекта C с морфизмами f_1: C\to A и f_2: C\to B существует единственный морфизм g: C \to A\times B такой, что диаграмма на рисунке коммутативна.

Дуально определяется прямая сумма или копроизведение объектов.

Если произведение и копроизведение существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

Пример: В категории Set прямое произведение A и B это произведение в смысле теории множеств A\times B, а прямая сумма — несвязное объединение A \sqcup B.
Пример: В категории VectK прямое произведение это тензорное произведение A\otimes B, а прямая сумма — сумма векторных пространств A\oplus B.

Функторы

Функторы — это отображения категорий, сохраняющие структуру. Точнее,

(Ковариантный) функтор \mathcal{F}: \mathcal{C}\to \mathcal{D} ставит в соответствие каждому объекту категории \mathcal{C} объект категории \mathcal{D} и каждому морфизму f: A\to B морфизм F(f): F(A)\to F(B) так, что

  • F(idA) = idF(A) и
  • F(g)\circ F(f) = F(g\circ f).

Контравариантный функтор, или кофунктор — это функтор из \mathcal{C} в \mathcal{D}^{op}, то есть «функтор, переворачивающий стрелки».

Типы категорий

  • Моноидальные категории
  • Абелевы категории
  • Топосы

Смотрите также

Ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home