Обобщённая схема размещения

Обобщённая схема размещения [1-3] частиц по ячейкам определяется следующим образом. Пусть неотрицательные целочисленные случайные величины (с.в.) \eta_1,\dots,\eta_N, сумма которых равна n, связаны с неотрицательными целочисленными независимыми с.в. \xi_1,\dots,\xi_N следующим соотношением:

\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\mathbb{P}\{\xi_1=k_1,\dots,\xi_N=k_N\;|\;\xi_1+\dots+\xi_N=n\} \qquad(1)

для всех целых неотрицательных k_1,\dots,k_N, сумма которых равна n. Тогда говорят, что с.в. \eta_1,\dots,\eta_N,\xi_1,\dots,\xi_N образуют обобщённую схему размещения (ОСР).

Если ОСР симметрична, то есть все с.в. ξk имеют одинаковое распределение, то вероятность, стоящую справа в (1), можно записать в виде:

\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\frac{p_{k_1}\dots p_{k_N}}{\sum\limits_{j_1+\dots+j_N=n}p_{j_1}\dots p_{j_N}},\qquad(2)

где p_k=\mathbb{P}\{\xi_1=k\},\quad k=0,1,2\dots

Наиболее распространенным случаем ОСР является каноническая схема размещения [4], для которой

\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\frac{b_{k_1}\dots b_{k_N}}{\sum\limits_{j_1+\dots+j_N=n}b_{j_1}\dots b_{j_N}},\qquad(3)

где b_0,b_1,\dots — последовательность неотрицательных чисел такая, что b0 > 0, радиус сходимости ряда B(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty b_kx^k равен 1, максимальный шаг носителя последовательности b_0,b_1,\dots равен 1.

К канонической схеме путем линейного преобразования с.в. \eta_1,\dots,\eta_N сводятся все схемы вида (3) без указанных выше ограничений на последовательность {bk} с одним только условием — конечного и ненулевого радиуса сходимости B(x). Схема (3), очевидно, является частным случаем (2) и, следовательно, (1). C другой стороны, классическая схема размещения (схема равновероятного размещения частиц по ячейкам), в которой

\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\frac{n!}{k_1!\dots\;k_N!N^n},

не сводится к канонической, так как радиус сходимости B(x) = ex равен бесконечности. Но она является частным случаем (2) (и, следовательно, (1)). Классическая схема была детально изучена в [2].

Схемы размещения вида (1), (2) и (3) является удобным средством изучения таких случайных объектов, как леса Гальтона-Ватсона [5], случайные подстановки [3], рекурсивные леса [6] и т. д.

[1] Колчин В. Ф. Случайные отображения. М., Наука, 1984.

[2] Колчин В. Ф., Севастьянов Б. А., Чистяков В. П. Случайные размещения. М., Наука, 1976.

[3] Колчин В. Ф. Случайные графы. М., Физматлит, 2000.

[4] Казимиров Н. И. Леса Гальтона-Ватсона и случайные подстановки. Дисс. на соискание уч. степени канд. физ.-мат. наук, Петрозаводск, Кар НЦ РАН, 2003.

[5] Pavlov Yu. L. Random Forests. Utrecht, VSP, 2000.

[6] Павлов Ю. Л., Лосева Е. А. Предельные распределения максимального объема дерева в случайном рекурсивном лесе. // Дискретная математика, 2002, 14, № 1, c.60-74.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home