Кватернион

Кватернио́ны — это система гиперкомплексных чисел, предложенная У. Р. Гамильтоном в 1843 году Умножение кватернионов не коммутативно, они образуют тело, которое обычно обозначается \mathbb H.

Кватернионы очень удобны для описания изометрий трёхмерного и четырёхмерного Евклидовых пространств, и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике, например при создании трёхмерной графики. [1]

Содержание

Определения

Вектор-скаляр

Кватернион представляет собой пару (a, \vec{u} ) где \vec{u} вектор трёхмерного пространства и a\, скаляр, т. е. вещественное число. Операции сложения определены следующим образом:

(a, \vec{u} )+ (b , \vec{v})= (a + b , \vec{u} + \vec{v})

Произведение должно быть дистрибутивно и

(a, 0)(0, \vec{v})=(0, \vec{v})(a, 0 )= (0, a\vec{v})
(a, 0)(b, 0)=(ab, 0)\,
(0, \vec{u} )(0, \vec{v})= ( - \vec{u}\cdot\vec{v} , \vec{u}\times\vec{v})

где \cdot обозначает скалярное произведение и \times векторное произведение. Антикоммутативность векторного произведения в последнем определении влечёт некоммутативность произведения кватернионов.

Матричные

Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида с обычным матричным произведением и суммой:

\begin{pmatrix} \;\;\alpha & \beta \\ -\bar \beta & \bar \alpha \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \;\;a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix},

здесь \bar \alpha и \bar \beta обозначают комплексно-сопряжённые числа к \,\alpha и \, \beta.

Кватернионы также можно определить как вещественные матрицы следующего вида с обычным матричным произведением и суммой: \begin{pmatrix} \;\; a & -b & \;\; d & -c \\ \;\; b & \;\; a & -c & -d \\ -d & \;\; c & \;\; a & -b \\ \;\; c & \;\; d & \;\; b & \;\; a \end{pmatrix}.

Стандартное

Кватернионы можно определить как формальную сумму \,a+bi+cj+dk где \,a, b, c, d есть четвёрка вещественных чисел и \,i, j, k «мнимые единицы» с вот такой таблицей умножения:

· 1 i j k
1 \,1 \,i \,j \,k
i \,i \,-1 \,k \,-j
j \,j \,-k \,-1 \,i
k \,k \,j \,-i \,-1

например \,ij=k, a \,ji=-k.

Связанные определения

Для кватерниона

\,q=a+bi+cj+dk,

кватернион \,a называется скалярной частью \,q, а кватернион \,v=bi+cj+dkвекторной чатью. Если \,v=0 то кватернион называется чисто скалярным, а при \,a=0 чисто векторным. Kватернион

\bar q=a-bi-cj-dk

называется сопряженным к \,q. Также как и для комплексных чисел

|q|=\sqrt{q\bar q}=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}

называется модулем \,q. Если \,|q|=1 то \,q называется единичным кватернионом. Из тождества четырёх квадратов вытекает, что |p\cdot q|=|p|\cdot |q|, иными словами кватернионы обладают мультипликативной нормой и образуют ассоциативную алгебру с делением.

Кватернионы и повороты пространства

Кватернионы образуют четырёхмерное евклидово пространство. Любой поворот этого пространства относительно \,0 может быть записан в виде q\mapsto \xi q \zeta, где \,\xi и \,\zeta пара единичных кватернионов, при этом пара \,(\xi,\zeta) определяется с точностью до знака т.е. один поворот определяют в точности две пары \,(\xi,\zeta) и \,(-\xi,-\zeta). В частности из этого следует что группа Ли SO(\R,4) поворотов \R^4 есть факторгруппа S^3\times S^3/\Z_2, где \,S^3 обозначает мультипликативную группу единичных кватернионов.

Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное евклидово пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно \,0 может быть записан в виде v\mapsto \xi v \bar\xi, где \,\xi некоторый единичный кватернион. Соответственно, SO(\R,3)=S^3/\Z_2, в частности SO(\R,3) диффеоморфно \R \mathrm{P}^3.

Целые кватернионы

Целыми принято называть кватернионы \,a+bi+cj+dk такие, что все \,a,b,c,dцелые или все a+\frac12,b+\frac12,c+\frac12,d+\frac12 — целые.

Существует 24 целых единичных кватерниона:

\pm 1,\pm i, \pm j, \pm k, \frac{\pm1\pm i\pm j\pm k}2,

они образуют группу по умножению и лежат в вершинах правильного четырёхмерного многогранника — кубооктаэдра. Для целых кватернионов верен аналог основной теоремы арифметики, т.е. любой кватернион может быть записан в виде произведения простых кватернионов (притом единственным образом) по модулю домножения на единицы; например, если \,q=p_1p_2p_3, где \,p_1,p_2,p_3 — простые, то

q=(p_1\epsilon_1)(\bar\epsilon_1p_2\epsilon_2)(\bar\epsilon_2p_3)

также разложение на простые сомножители \,(p_1\epsilon_1), (\bar\epsilon_1p_2\epsilon_2), (\bar\epsilon_2p_3). Забавно то, что в этом разложении порядок простых кватернионов также единственный.


Ссылки

Источники

  1. Кватернионы в программировании игр


Числа

натуральные | целые | рациональные | алгебраические | вещественные | комплексные | кватернионы | числа Кэли

иррациональные | трансцендентные


p-адические

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home