Мероморфная функция

Мероморфная функция одного комплексного переменного в области \Omega\subset \mathbb C (или на римановой поверхности Ω) — голоморфная функция f в области \Omega\backslash\{a_1,a_2,\dots\}, которая в каждой особой точке ai имеет полюс (таким образом aiизолированная точка множества \{a_1,a_2,\dots\}, не имеющего предельных точек в Ω, и \lim_{z\to a_i}|f(z)|= \infty). Совокупность M(Ω) всех мероморфных функций на области Ω является полем относительно обычных поточечных операций с последующим доопределением в устранимых особенностях.

Свойства

  • Отношение φ / ψ любых голоморфных в Ω функций, φ и ψ, является мероморфной функцией в Ω.
    • Обратно, всякая мероморфная функция в области \Omega\subset\mathbb C (и на некомпактной римановой поверхности Ω) представляется в виде φ / ψ, где φ и ψ голоморфны и не имеют общих нулей в Ω.

Таким образом, на некомпактной римановой поверхности поле M(Ω) совпадает с полем отношений кольца голоморфных функций в Ω.

  • Всякая мероморфная функция f\in M(\Omega) определяет непрерывное отображение f области Ω в сферу Римана \mathbb C\cup\{\infty\}, которое является голоморфным отображением относительно стандартной комплексной структуры \mathbb C\cup\{\infty\}=\mathbb CP^1.
    • Обратно, всякое голоморфное отображение f:\Omega,\to\mathbb C\cup\{\infty\}, определяет мероморфную функцию f на Ω. При этом множество полюсов f совпадает с дискретным множеством f^{-1}(\infty).

Таким образом, мероморфная функция одного комплексного переменного можно отождествлять с голоморфными отображениями в сферу Римана.

  • На всякой некомпактной римановой поверхности существует мероморфная функция с заданными полюсами \{a_1,a_2,\dots\} и заданными в каждом из них главной частью разложения Лорана (теорема Миттаг — Леффлера)
    • На компактной римановой поверхности (например, на торе) эта задача в общем неразрешима — нужны дополнительные условия согласования главных частей.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home