Инвариантная производная по времени

Инвариантная производная по времени — это производная по времени инерциальной системы отсчёта (ИСО) отнесённая к её координатной сетке. В самой ИСО инвариантная производная по времени есть просто обычная производная по времени: \frac{\partial}{\partial t}. В неинерциальной системе отсчёта (НСО), инвариантная производная по времени состоит из суммы обычной производной по времени \frac{\partial}{\partial t} и дополнительных слагаемых связанных со скоростью Vi движения координатной сетки НСО относительно координатной сетки ИСО. Поле скоростей может быть неоднородным Vi(x) и, в общем случае, зависеть от времени Vi(x,t). Так например, в НСО связанной с неравномерно вращающимся колесом, поле скоростей неоднородно в пространстве и во времени. Поскольку поле скоростей Vi(x,t) есть относительная скорость движения координатных сеток, которые не являются материальными объектами, то эта скорость, по величине, может превышать скорость света, и даже быть бесконечной. Ни какого противоречия со специальной теорией относительности (СТО) при этом, конечно же, не происходит. Например, поле скоростей НСО связанной с вращающимся колесом на достаточно большом расстоянии от центра вращения по величине превышает скорость света и стремится к бесконечности при дальнейшем удалении от центра.

Обозначим посредством \bar{x} — координаты в ИСО, и x(\bar{x}, t) — координаты в НСО. Тогда скорость движения координатной сетки НСО относительно координатной сетки ИСО есть:

V^i(x, t) = \frac{\partial x^i(\bar{x}, t)}{\partial t}

Инвариантная производная по времени от скаляра F(x,t) в НСО есть:

D_t F(x, t) = \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial x^i}\frac{\partial x^i}{\partial t} = \frac{\partial F}{\partial t} + V^i(x, t) \frac{\partial F}{\partial x^i}.

Инвариантная производная по времени от тензоров имеет дополнительные слагаемые связанные с преобразованием их компонент при переходе из одной системы координат в другую \bar{x} \to x(\bar{x}, t). Так например, для векторов и ковекторов имеем:

A^i = \frac{\partial x^i}{\partial \bar{x}^j}\bar{A}^j;

A_i = \frac{\partial \bar{x}^j}{\partial x^i}\bar{A}_j.

Следовательно,

D_t A^i = \frac{\partial A^i}{\partial t} + V^j \frac{\partial A^i}{\partial x^j} - A^j \frac{\partial V^i}{\partial x^j};

D_t A_i = \frac{\partial A_i}{\partial t} + V^j \frac{\partial A_i}{\partial x^j} + A_j \frac{\partial V^j}{\partial x^i}.

Аналогично вычисляются инвариантные производные по времени от тензоров высших рангов.

Важным свойством инвариантной производной по времени является то, что все производные по пространственным координатам \frac{\partial}{\partial x^i} в правых частях приведённых выше выражений можно заменить на ковариантные производные согласованные с метрикой пространства dl2 = γijdxidxj. То есть,

D_t A^i = \partial_t A^i + V^j A^i_{;j} - A^j V^i_{;j},

D_t A_i = \partial_t A_i + V^j A_{i;j} + A_j V^j_{;i},

при этом слагаемые со связностями Кристоффеля взаимно сокращаются.

Рассмотренные выше «добавки» к обычным производным по времени являются Ли — вариациями (или, иначе, производными Ли) тензорных полей вдоль векторного поля Vi, которые были изучены выдающимся норвежским математиком Софусом Ли (1842—1899).

Всем известные центробежное и кориолисово ускорения, появляющиеся во вращающейся НСО, суть дополнительные слагаемые в инвариантной производной по времени от вектора скорости движущейся материальной точки.

Литература

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home