Распределение Пуассона

Распределение Пуассона
Функция вероятности

Функция распределения

Параметры \lambda \in (0,\infty)
Носитель k \in \{0,1,2,\ldots\}
Функция вероятности \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\!
Функция распределения \frac{\Gamma(k+1, \lambda)}{k!}\!
Математическое ожидание \lambda\,
Медиана N/A
Мода \lfloor\lambda\rfloor
Дисперсия \lambda\,
Коэффициент асимметрии \lambda^{-1/2}\,
Коэффициент эксцесса \lambda^{-1}\,
Информационная энтропия \lambda[1\!-\!\ln(\lambda)]\!+\!e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\ln(k!)}{k!}
Производящая функция моментов \exp(\lambda (e^t-1))\,
Характеристическая функция \exp(\lambda (e^{it}-1))\,


Распределе́ние Пуассо́на моделирует случайную величину, равную числу событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Содержание

Определение

Выберем фиксированное число λ > 0 и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:

p(k) \equiv \mathbb{P}(Y=k) = \frac{\lambda^k}{k!}\, e^{-\lambda},

где

Тот факт, что случайная величина Y имеет распределение Пуассона с параметром λ, записывается: Y˜P(λ).

Замечание

  • Параметр λ часто называется интенсивностью (см. Биномиальное приближение).
  • Функция p(k), введённая выше, действительно является функцией вероятности, что следует из разложения экспоненты в ряд Тейлора:
e^{\lambda} = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!},\; \forall \lambda \in \mathbb{R},

откуда

\sum\limits_{k=0}^{\infty} p(k) = 1.


Моменты

Производящая функция моментов распределения Пуассона имеет вид:

M_Y(t) = e^{\lambda \left(e^t -1\right)},

откуда

\mathbb{E}[Y] = \lambda,
D[Y] = λ.

Свойства распределения Пуассона

  • Сумма пуассоновских случайных величин так же имеет распределение Пуассона. Пусть Y_i \sim \mathrm{P}(\lambda_i),\; i=1,\ldots,n. Тогда
Y = \sum\limits_{i=1}^n Y_i \sim \mathrm{P}\left(\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\right).
Y_1\mid Y = y \sim \mathrm{Bin}\left(y, \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\right).

См. также

Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home