Предельная точка

Предельной точкой числового множества называется элемент множества, любая окрестность которого содержит бесконечное число элементов множества. Например, все точки отрезка числовой прямой — суть его предельные точки. Все точки отрезка являются также предельными точками соответствующего ему интервала. Точки, не являющиеся предельными для множества, но принадлежащие ему, называются изолированными точками этого множества.

Предельной точкой числовой последовательности называется точка, в любой окрестности которой содержатся элементы последовательности со сколь угодно большими номерами. Например, у последовательности an = 1 это точка 1 (хотя она не является предельной точкой множества значений элементов последовательности, состоящего из одного элемента).

Лемма о предельной точке. Любое бесконечное ограниченное множество на прямой содержит хотя бы одну предельную точку. Доказательство: поскольку множество (назовём его X) ограничено, то существует отрезок [a; b], включающий X. Предположим, что ни одна точка этого отрезка не является предельной для X. Тогда окрестностями (при некоторых δ) всех точек X можно покрыть весь отрезок. Значит, по принципу Бореля-Лебега, из множества этих окрестностей (коих бесконечное число, так как во множестве X по условию число элементов бесконечно) можно выделить конечное подпокрытие [a; b] какими-то окрестностями U(x1), U(x2), …, U(xn). В каждой из этих окрестностей по условию конечное число элементов, всего окрестностей также конечное число, значит, всего в X конечное число элементов, что противоречит условию. Стало быть, у X действительно есть предельная точка.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home